Hvad sker der med ruinsandsynligheden, når jeg øger gearingen?

Ikke-lineær risiko med geometrisk Brownsk bevægelse

I en standard finansiel model (geometric Brownian motion), udvikler en investering sig som:

hvor μ er drift (forventet return), σ er volatilitet, og dW er en Wiener-proces (random walk). Hvis du tilføjer gearing g (f.eks. g=2 betyder 2x gearing), bliver volatiliteten gσ og det forventede afkast gμ. Det lyder symmetrisk — gange både return og risiko med g.

Men her er det kritiske: sandsynligheden for ruin (at nå porteføljen til nul) stiger meget hurtigere end lineært. Med g=2 er din volatilitet dobbelt, så dine træk-ned er cirka dobbelt. Men når dit portefølje er 60% nede (fra en 30% markedstur), har du med 2x gearing svaret mere end -60%, og hver dag bliver værre som procenten af en mindre base.

Volatilitets-drag og geometriske afkast

Det vigtigste koncept her er volatilitets-drag. Det forventede årlige afkast (aritmetisk gennemsnit) kan være 8%, men det geometriske afkast (hvad du faktisk får over længere tid) er mindre:

Eksempel uden gearing: μ = 8%, σ = 18%. Geometrisk afkast ≈ 8% − (0,18)²/2 = 8% − 0,0162 = 6,38%.

Med 2x gearing: μ bliver 16%, σ bliver 36%. Geometrisk afkast ≈ 16% − (0,36)²/2 = 16% − 0,0648 = 15,35%. Det er stadig bedre end 6,38%, så 2x gearing hjælper.

Med 3x gearing: μ bliver 24%, σ bliver 54%. Geometrisk afkast ≈ 24% − (0,54)²/2 = 24% − 0,1458 = 23,54%. Stadig bedre!

Men når g bliver for stor (sige g=5), μ = 40% og σ = 90%: Geometrisk afkast ≈ 40% − (0,90)²/2 = 40% − 0,405 = 39,6%. Volatiilitets-drag vokser som σ² — kvadratisk! Så til sidst bliver den så stor, at selv med høj drift falder det geometriske afkast.

Praktisk eksempel: Hvor meget gearing giver mening?

Lad os antage aktier: μ = 8%, σ = 18%, risikofri rente = 2%. Vi ser på forskellige gearin-niveauer:

Gearing	Forventet Return	Volatilitet	Geometrisk Return	Max. 1-års træk-ned (≈2σ)
1x	8%	18%	6,38%	−28%
1,5x	10%	27%	9,36%	−46%
2x	12%	36%	12,52%	−64%
3x	16%	54%	16,54%	−108% (!)

Bemærk: ved 3x gearing kan et årligt træk-ned teoretisk overstige −100%, hvilket betyder ruin under visse scenarier. Selvom det geometriske afkast stiger til 16,54%, risikerer du faktisk at miste alt det investerede.

Sequencing risk: Tidslinjen betyder

Ruin-sandsynlighed afhænger ikke kun af nivået af gearing, men også af, hvornår værste markedet begivenhed sker. Hvis du bruger 2x gearing i dine første 5 år, og aktiemarkedet falder 40% i år 1 eller 2, kan du tvinges til at sælge til tab for at opfylde marginkaldet. Dette er sequencing risk og er særligt farligt for unge Lifecycle-investorer.

Derfor anbefaler selv Lifecycle-tilhængerne moderat gearing (1,5-2x) i ungdommen, ikke fuld Kelly eller ekstrem gearing. De økonomiske modeller viser, at selv efter accounting for sequencing risk, giver 1,5-2x gearing bedre langsigtet resultater end 1x. Men 3x+ gearing giver dårligere resultater på grund af volatilitets-drag.

Konkrete anbefalinger

1x gearing (ingen gearing): Sikker, men underkommer unge investorers høje risikoappetit.

1,5x gearing: Moderat, defensibel, især for unge med stabil indkomst. Geometrisk return stiger uden uforholdsmæssig ruin-risiko.

2x gearing: Aggressiv, men ikke helt ekstrem hvis du har buffer og kan modstå træk-ned på −60%+. Brugt i nogle Lifecycle-modeller.

3x+ gearing: For høj for de fleste. Volatilitets-drag bliver dominerende, og ruin-risiko bliver alvorlig uden tilsvarende fordel. Undgå.

Hvornår falder det geometriske afkast med gearing?

Med gearing g, drift μ og volatilitet σ er det geometriske afkast: gμ − (gσ)²/2 = gμ − g²σ²/2. Det geometriske afkast stiger med g så længe:

eller g < μ/σ². For aktier med μ = 8% og σ = 18%, betyder det g < 0,08 / 0,0324 ≈ 2,47. Så ved omkring 2,5x gearing begynder geometrisk afkast at falde! Dette er præcis, hvorfor Kelly-kriteriet foreslår omkring 1,85x og hvorfor moderate gearing (1,5-2x) er optimal.